Cho a^3+b^3+c^3=(a+b-c)^3+(a-b+c)^3+(-a+b+c)^3
chứng minh a=b=c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 6 2017
a+b+c+d=0
=>a+b=-(c+d)
=> (a+b)^3=-(c+d)^3
=> a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=3ab(c+d)-3cd(c+d) ( vi a+b = - (c+d))
==> a^3 +b^^3+c^3+d^3==3(c+d)(ab-cd) (đpcm)
22 tháng 8 2018
c, Ta có : a+b+c=0 ⇒ c=-(a+b)
⇒ a3+b3+c3= a3+b3-(a+b)3= x3+y3-(x3+3x2y+3xy2+y3)= x3+y3-x3-3x2y-3xy2-y3= -3x2y-3xy2= -3xy(x+y)= 3xyz(đpcm)
22 tháng 8 2018
Câu a : Ta có :
\(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2z-xyz+y^2z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\)
Câu b : Khai triển VT ta có :
\(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-a^3-b^3-c^3=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\)
Câu c : Ta có :
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-bc-ca+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Luôn đúng vì \(a+b+c=0\)
H
0
NM
1
T
20 tháng 8 2023
Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)
\(\Rightarrow x+y+z=a+b-c+b+c-a+c+a-b\)
\(=a+b+c\)
Thay \(x;y;z;x+y+z\) vào M, ta được:
\(M=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left(x+y\right)^3+z^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2-x^3-y^3-z^3\)
\(=x^3+y^3+z^3-x^3-y^3-z^3+3xy\left(x+y\right)+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\)\(=3\left(x+y\right)\left[xy+z\left(x+y+z\right)\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left(xy+xz+zy+z^2\right)\)
\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)
\(=3\left(a+b-c+b+c-a\right)\left(b+c-a+c+a-b\right)\left(a+b-c+c+a-b\right)\)
\(=3.2b.2c.2a=24abc\)
Vì \(24abc⋮24\forall a,b,c\) nên \(M⋮24\)
Vậy...
PT
0
PN
21 tháng 9 2017
Lê Minh Tuấn bn tham khảo nha:
a+b+c+d=0
=>a+b=-(c+d)
=> (a+b)^3=-(c+d)^3
=> a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=3ab(c+d)-3cd(c+d) ( vi a+b = - (c+d))
==> a^3 +b^^3+c^3+d^3==3(c+d)(ab-cd) (dpcm)
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
